$\tan^{-1}(\tan(\frac{2}{3}\pi))$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\tan^{-1}(\tan(\frac{2}{3}\pi))$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan^{-1}(x)$ の値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ です。

$\frac{2}{3}\pi$ はこの範囲外なので、$\tan(\frac{2}{3}\pi)$ と同じ値を持つ、この範囲内の角度を見つける必要があります。

$\tan(\theta) = \tan(\theta + n\pi)$ （nは整数）が成り立つことを利用します。

$\frac{2}{3}\pi - \pi = -\frac{1}{3}\pi$ は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ の範囲内に入ります。

したがって、

$\tan(\frac{2}{3}\pi) = \tan(-\frac{1}{3}\pi)$

$\tan^{-1}(\tan(\frac{2}{3}\pi)) = \tan^{-1}(\tan(-\frac{1}{3}\pi))$

$\tan^{-1}(\tan(-\frac{1}{3}\pi)) = -\frac{1}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$-\frac{\pi}{3}$