与えられた関数 $y = \frac{x-4}{x^2-2x-3}$ の不定積分と、 $y = \frac{x+1}{x^2+x+1}$ の不定積分をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x-4}{x^2-2x-3}$ の不定積分と、 $y = \frac{x+1}{x^2+x+1}$ の不定積分をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(2) について：

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

よって、

$\frac{x-4}{x^2-2x-3} = \frac{x-4}{(x-3)(x+1)}$

部分分数分解をします。

$\frac{x-4}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}$

両辺に $(x-3)(x+1)$ を掛けると、

$x-4 = A(x+1) + B(x-3)$

$x=-1$ を代入すると、 $-5 = -4B$ より $B = \frac{5}{4}$

$x=3$ を代入すると、 $-1 = 4A$ より $A = -\frac{1}{4}$

したがって、

$\frac{x-4}{x^2-2x-3} = -\frac{1}{4}\frac{1}{x-3} + \frac{5}{4}\frac{1}{x+1}$

不定積分は、

$\int \frac{x-4}{x^2-2x-3} dx = \int \left(-\frac{1}{4}\frac{1}{x-3} + \frac{5}{4}\frac{1}{x+1}\right) dx$

$= -\frac{1}{4}\int \frac{1}{x-3} dx + \frac{5}{4}\int \frac{1}{x+1} dx$

$= -\frac{1}{4} \ln |x-3| + \frac{5}{4} \ln |x+1| + C$

$= \frac{1}{4} (5\ln|x+1| - \ln|x-3|) + C$

$= \frac{1}{4} \ln \left| \frac{(x+1)^5}{x-3} \right| + C$

(3) について：

分子を分母の微分形に近づけるように変形します。

分母の微分は $2x+1$ なので、分子を $2x+1$ の形に近づけることを考えます。

$x+1 = \frac{1}{2}(2x+2) = \frac{1}{2}(2x+1) + \frac{1}{2}$

よって、

$\frac{x+1}{x^2+x+1} = \frac{\frac{1}{2}(2x+1)+\frac{1}{2}}{x^2+x+1} = \frac{1}{2}\frac{2x+1}{x^2+x+1} + \frac{1}{2}\frac{1}{x^2+x+1}$

$\int \frac{x+1}{x^2+x+1}dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+x+1}dx$

第一項は $x^2+x+1=t$ とおくと $2x+1 = \frac{dt}{dx}$ なので、

$\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx = \int \frac{1}{t} dt = \ln |t| = \ln |x^2+x+1|$

第二項は分母を平方完成します。

$x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = (x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$\int \frac{1}{x^2+x+1}dx = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}dx$

ここで、$x+\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\cos^2\theta} d\theta$

$\int \frac{1}{\frac{3}{4}\tan^2\theta + \frac{3}{4}} \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\cos^2\theta} d\theta = \int \frac{1}{\frac{3}{4}\frac{1}{\cos^2\theta}} \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\cos^2\theta} d\theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \int d\theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \theta$

$\theta = \arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$ なので、

$\int \frac{1}{x^2+x+1}dx = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$

したがって、

$\int \frac{x+1}{x^2+x+1}dx = \frac{1}{2} \ln |x^2+x+1| + \frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}} + C$

$= \frac{1}{2}\ln(x^2+x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}} + C$

3. 最終的な答え

(2) $\int \frac{x-4}{x^2-2x-3} dx = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{(x+1)^5}{x-3} \right| + C$

(3) $\int \frac{x+1}{x^2+x+1} dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}} + C$