はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

問題は2つあります。

問題1: 関数 $y = f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{8}{3}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $y = f(x)$ の増減表を作成する (凹凸・変曲点は調べなくてもよい)。

(2) 関数 $y = f(x)$ の極値を求める。

(3) 関数 $y = f(x)$ のグラフの概形を描く。

問題2: 関数 $f(x) = 1 + x + x^2 + e^{-x}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の3階導関数までを求める。

(2) $f(x)$ を $x^3$ の項までマクローリン展開する (剰余項は計算しなくてもよい)。

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2. 解き方の手順**

**問題1**

(1) **増減表の作成**

* まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = x^3 - x^2 - 2x$

* 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) = x(x - 2)(x + 1) = 0$

よって、$x = -1, 0, 2$ です。

* $x$ の値の範囲を、$x < -1$, $-1 < x < 0$, $0 < x < 2$, $x > 2$ に分割し、各範囲で $f'(x)$ の符号を調べます。

* 各範囲における $f(x)$ の増減を矢印で表にまとめます。

(2) **極値の計算**

増減表から、$f'(x)$ の符号が変化する点を見つけます。

$f'(x)$ の符号が正から負に変わる点で極大、負から正に変わる点で極小となります。

それぞれの $x$ の値における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 + \frac{8}{3} = \frac{3+4-12+32}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

$f(0) = \frac{8}{3}$

$f(2) = \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 + \frac{8}{3} = 4 - 4 = 0$

(3) **グラフの概形**

極値、増減表に基づき、$f(x)$ のグラフの概形を描きます。

**問題2**

(1) **3階導関数の計算**

* $f(x) = 1 + x + x^2 + e^{-x}$ の導関数を3回計算します。

$f'(x) = 1 + 2x - e^{-x}$

$f''(x) = 2 + e^{-x}$

$f'''(x) = -e^{-x}$

(2) **マクローリン展開**

関数 $f(x)$ のマクローリン展開は、以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

$f(0) = 1 + 0 + 0 + e^0 = 2$

$f'(0) = 1 + 0 - e^0 = 0$

$f''(0) = 2 + e^0 = 3$

$f'''(0) = -e^0 = -1$

よって、$x^3$ の項までのマクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = 2 + 0x + \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 + ...$

$f(x) = 2 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 + ...$

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3. 最終的な答え**

**問題1**

(1) 増減表 (概略):

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| ---- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | 極大 | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |

(2) 極値:

* 極大値: $f(-1) = \frac{9}{4}$, $f(0) = \frac{8}{3}$

* 極小値: $f(2) = 0$

(3) グラフの概形: (説明のみ。実際にグラフを描くことはできません。)

x=-1付近とx=0付近で極大値をとり、x=2で極小値0をとる4次関数。xが十分大きいときyは正の無限大に発散する。

**問題2**

(1) 3階導関数:

* $f'(x) = 1 + 2x - e^{-x}$

* $f''(x) = 2 + e^{-x}$

* $f'''(x) = -e^{-x}$

(2) マクローリン展開:

$f(x) = 2 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 + ...$