二重積分 $\iint_D xy^2 dxdy$ を計算します。ここで、領域 $D$ は $0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$ で定義されます。

1. 問題の内容

二重積分 $\iint_D xy^2 dxdy$ を計算します。ここで、領域 $D$ は $0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$ で定義されます。

2. 解き方の手順

まず、積分領域$D$を考えます。$0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$ は、中心が原点で半径1の円の第一象限の部分を表します。

$xy^2$ を $y$ について積分し、次に $x$ について積分します。

まず、内側の積分を計算します。

$\int_0^{\sqrt{1-x^2}} xy^2 dy = x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} y^2 dy = x \left[ \frac{1}{3} y^3 \right]_0^{\sqrt{1-x^2}} = x \cdot \frac{1}{3} (1-x^2)^{3/2} = \frac{1}{3} x(1-x^2)^{3/2}$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^1 \frac{1}{3} x(1-x^2)^{3/2} dx$

ここで、置換積分を行います。$u = 1-x^2$ とすると、$du = -2x dx$ となり、$x dx = -\frac{1}{2} du$ です。

$x=0$ のとき $u = 1-0^2 = 1$, $x=1$ のとき $u = 1-1^2 = 0$.

したがって、

$\int_0^1 \frac{1}{3} x(1-x^2)^{3/2} dx = \frac{1}{3} \int_1^0 u^{3/2} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{6} \int_1^0 u^{3/2} du = \frac{1}{6} \int_0^1 u^{3/2} du = \frac{1}{6} \left[ \frac{2}{5} u^{5/2} \right]_0^1 = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} (1^{5/2} - 0^{5/2}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{15}$