与えられた関数 $y = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + 3\sin^2 x$ （ただし $0 \le x \le \pi$）について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $y$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ を用いて表します。 (2) 関数 $y$ の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + 3\sin^2 x$ （ただし $0 \le x \le \pi$）について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $y$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ を用いて表します。

(2) 関数 $y$ の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y$ の式を変形します。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

これらの関係式を $y$ の式に代入すると、

$y = \frac{1 + \cos 2x}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + 3 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$y = \frac{1 + \cos 2x}{2} - \sin 2x + \frac{3 - 3\cos 2x}{2}$

$y = \frac{1 + \cos 2x - 2\sin 2x + 3 - 3\cos 2x}{2}$

$y = \frac{4 - 2\cos 2x - 2\sin 2x}{2}$

$y = 2 - \cos 2x - \sin 2x$

(2)

次に、$y$ の最大値と最小値を求めます。

$y = 2 - (\sin 2x + \cos 2x)$

三角関数の合成を行います。

$\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$

したがって、

$y = 2 - \sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$

ここで、$0 \le x \le \pi$ より $\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4}$

$\sin (2x + \frac{\pi}{4})$ の取りうる値の範囲は $-1 \le \sin (2x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ です。

したがって、

$y$ の最大値は $2 - \sqrt{2} (-1) = 2 + \sqrt{2}$

このとき、$\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = -1$ なので、

$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$

$2x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

$x = \frac{5\pi}{8}$

$y$ の最小値は $2 - \sqrt{2} (1) = 2 - \sqrt{2}$

このとき、$\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = 1$ なので、

$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

$x = \frac{\pi}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2 - \cos 2x - \sin 2x$

(2) 最大値 $2 + \sqrt{2}$ ($x = \frac{5\pi}{8}$ のとき)

最小値 $2 - \sqrt{2}$ ($x = \frac{\pi}{8}$ のとき)