極座標で表された曲線 $r = 2 + \cos \theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

極座標で表された曲線 $r = 2 + \cos \theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

極座標で表された曲線の面積は、次の公式で求められます。

$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$

ここで、$\alpha$ と $\beta$ は $\theta$ の積分範囲です。

この問題では、$\alpha = 0$、$\beta = 2\pi$、そして $r = 2 + \cos \theta$ です。

したがって、面積 $S$ は次のように計算できます。

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (2 + \cos \theta)^2 d\theta$

まず、$(2 + \cos \theta)^2$ を展開します。

$(2 + \cos \theta)^2 = 4 + 4 \cos \theta + \cos^2 \theta$

次に、$S$ の積分を計算します。

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (4 + 4 \cos \theta + \cos^2 \theta) d\theta$

$\cos^2 \theta$ を半角の公式を使って変形します。

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$

これを積分に代入します。

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (4 + 4 \cos \theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2}) d\theta$

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\frac{9}{2} + 4 \cos \theta + \frac{1}{2} \cos 2\theta) d\theta$

積分を計算します。

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{9}{2} \theta + 4 \sin \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta \right]_{0}^{2\pi}$

$\sin 0 = 0$、$\sin 2\pi = 0$、$\sin 4\pi = 0$ であることに注意して、積分範囲を代入します。

$S = \frac{1}{2} \left[ \frac{9}{2} (2\pi) + 4 (0) + \frac{1}{4} (0) - (0 + 0 + 0) \right]$

$S = \frac{1}{2} (9\pi) = \frac{9\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\pi}{2}$