関数 $u(x,y) = (1 - x^2)^2 + 2xy + y^2$ が与えられている。 $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ となる点（停留点）を求め、それぞれの点におけるヘッセ行列を計算し、関数 $u$ が極大値、極小値を取る点を求める。

1. 問題の内容

関数 $u(x,y) = (1 - x^2)^2 + 2xy + y^2$ が与えられている。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ となる点（停留点）を求め、それぞれの点におけるヘッセ行列を計算し、関数 $u$ が極大値、極小値を取る点を求める。

2. 解き方の手順

まず、偏導関数 $\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial u}{\partial y}$ を計算する。

次に、$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ と $\frac{\partial u}{\partial y} = 0$ を満たす $x, y$ を求める。

次に、それぞれの停留点におけるヘッセ行列を計算する。ヘッセ行列は以下の通り定義される。

$H = \begin{pmatrix}

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \\

\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

\end{pmatrix}$

ヘッセ行列の行列式 $\det(H) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y})^2$ を計算する。

- $\det(H) > 0$ かつ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} > 0$ ならば、極小値を取る。

- $\det(H) > 0$ かつ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} < 0$ ならば、極大値を取る。

- $\det(H) < 0$ ならば、鞍点となる。

- $\det(H) = 0$ ならば、判定できない。

具体的に計算する。

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2(1-x^2)(-2x) + 2y = -4x + 4x^3 + 2y$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 2x + 2y$

$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ より $-4x + 4x^3 + 2y = 0$ つまり $y = 2x - 2x^3$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 0$ より $2x + 2y = 0$ つまり $y = -x$

$2x - 2x^3 = -x$ より $3x - 2x^3 = 0$ つまり $x(3 - 2x^2) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

- $x = 0$ のとき $y = 0$

- $x = \sqrt{\frac{3}{2}}$ のとき $y = -\sqrt{\frac{3}{2}}$

- $x = -\sqrt{\frac{3}{2}}$ のとき $y = \sqrt{\frac{3}{2}}$

停留点は $(0, 0)$, $(\sqrt{\frac{3}{2}}, -\sqrt{\frac{3}{2}})$, $(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}})$

次に、二階偏導関数を計算する。

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -4 + 12x^2$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = 2$

$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2$

ヘッセ行列は $H = \begin{pmatrix} -4 + 12x^2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

- $(0, 0)$ のとき $H = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, $\det(H) = -8 - 4 = -12 < 0$ なので鞍点。

- $(\sqrt{\frac{3}{2}}, -\sqrt{\frac{3}{2}})$ のとき $H = \begin{pmatrix} -4 + 12(\frac{3}{2}) & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, $\det(H) = 28 - 4 = 24 > 0$, $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 14 > 0$ なので極小値。

- $(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}})$ のとき $H = \begin{pmatrix} -4 + 12(\frac{3}{2}) & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, $\det(H) = 28 - 4 = 24 > 0$, $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 14 > 0$ なので極小値。

3. 最終的な答え

- 停留点: $(0, 0)$, $(\sqrt{\frac{3}{2}}, -\sqrt{\frac{3}{2}})$, $(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}})$

- 鞍点: $(0, 0)$

- 極小値を取る点: $(\sqrt{\frac{3}{2}}, -\sqrt{\frac{3}{2}})$, $(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}})$

- 極大値を取る点: なし