与えられた6つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int x \sin x dx$ (2) $\int x^2 \cos x dx$ (3) $\int x^2 e^x dx$ (4) $\int x^2 \log x dx$ (5) $\int \log (x+1) dx$ (6) $\int (\log x)^2 dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int x \sin x dx$

(2) $\int x^2 \cos x dx$

(3) $\int x^2 e^x dx$

(4) $\int x^2 \log x dx$

(5) $\int \log (x+1) dx$

(6) $\int (\log x)^2 dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x \sin x dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int x \sin x dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$

(2) $\int x^2 \cos x dx$

部分積分を2回行います。

まず、$u = x^2$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = \sin x$ となります。

$\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x dx = x^2 \sin x - 2 \int x \sin x dx$

次に、$\int x \sin x dx$ を部分積分で求めます。$u = x$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int x \sin x dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C_1$

したがって、

$\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x - 2(-x \cos x + \sin x) + C = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$

(3) $\int x^2 e^x dx$

部分積分を2回行います。

まず、$u = x^2$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = e^x$ となります。

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx$

次に、$\int x e^x dx$ を部分積分で求めます。$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C_1$

したがって、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$

(4) $\int x^2 \log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{3} x^3$ となります。

$\int x^2 \log x dx = \frac{1}{3} x^3 \log x - \int \frac{1}{3} x^3 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{3} \int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^3 + C = \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{9} x^3 + C$

(5) $\int \log (x+1) dx$

部分積分を行います。$u = \log (x+1)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x+1} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log (x+1) dx = x \log (x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx = x \log (x+1) - \int \frac{x+1-1}{x+1} dx = x \log (x+1) - \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = x \log (x+1) - (x - \log (x+1)) + C = x \log (x+1) - x + \log (x+1) + C = (x+1)\log(x+1) - x + C$

(6) $\int (\log x)^2 dx$

部分積分を行います。$u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{2 \log x}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - \int x \cdot \frac{2 \log x}{x} dx = x (\log x)^2 - 2 \int \log x dx$

次に、$\int \log x dx$ を部分積分で求めます。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C_1$

したがって、

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - 2(x \log x - x) + C = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

3. 最終的な答え

(1) $-x \cos x + \sin x + C$

(2) $x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$

(3) $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$

(4) $\frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{9} x^3 + C$

(5) $(x+1)\log(x+1) - x + C$

(6) $x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$