(6) 2次関数 $y = -2x^2 + 16x - 20$ の頂点の座標を求めます。 (7) 3次関数 $y = -2x^3 + 15x^2 - 36x + 27$ の導関数 $y'$ を求めます。 (8) 曲線 $y = x^3 + x^2 + x + 1$ 上の点 $(-1,0)$ における接線の方程式を求めます。 (9) 関数 $y = x^2(3x+5)^3$ の導関数 $y'$ を求めます。 (10) 関数 $y = \frac{5x^2 - 9x + 8}{x^2 + 1}$ の導関数 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

(6) 2次関数 $y = -2x^2 + 16x - 20$ の頂点の座標を求めます。

(7) 3次関数 $y = -2x^3 + 15x^2 - 36x + 27$ の導関数 $y'$ を求めます。

(8) 曲線 $y = x^3 + x^2 + x + 1$ 上の点 $(-1,0)$ における接線の方程式を求めます。

(9) 関数 $y = x^2(3x+5)^3$ の導関数 $y'$ を求めます。

(10) 関数 $y = \frac{5x^2 - 9x + 8}{x^2 + 1}$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

(6) 2次関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 8x) - 20 = -2(x^2 - 8x + 16 - 16) - 20 = -2(x-4)^2 + 32 - 20 = -2(x-4)^2 + 12$

頂点の座標は $(4, 12)$ です。

(7) 導関数を求めます。

$y' = -6x^2 + 30x - 36$

(8) まず導関数を求めます。

$y' = 3x^2 + 2x + 1$

$x = -1$ のとき、$y' = 3(-1)^2 + 2(-1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$。

接線の傾きは $2$ です。

接線の方程式は $y - 0 = 2(x - (-1))$ より、

$y = 2(x+1)$

$y = 2x + 2$

(9) 積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$y' = (x^2)'(3x+5)^3 + x^2((3x+5)^3)'$

$y' = 2x(3x+5)^3 + x^2 \cdot 3(3x+5)^2 \cdot 3$

$y' = 2x(3x+5)^3 + 9x^2(3x+5)^2$

$y' = x(3x+5)^2(2(3x+5) + 9x) = x(3x+5)^2(6x+10+9x) = x(3x+5)^2(15x+10) = 5x(3x+5)^2(3x+2)$

(10) 商の微分法を使います。

$y' = \frac{(5x^2 - 9x + 8)'(x^2+1) - (5x^2 - 9x + 8)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}$

$y' = \frac{(10x - 9)(x^2+1) - (5x^2 - 9x + 8)(2x)}{(x^2+1)^2}$

$y' = \frac{10x^3 - 9x^2 + 10x - 9 - (10x^3 - 18x^2 + 16x)}{(x^2+1)^2}$

$y' = \frac{10x^3 - 9x^2 + 10x - 9 - 10x^3 + 18x^2 - 16x}{(x^2+1)^2}$

$y' = \frac{9x^2 - 6x - 9}{(x^2+1)^2} = \frac{3(3x^2-2x-3)}{(x^2+1)^2}$

3. 最終的な答え

(6) $(4, 12)$

(7) $y' = -6x^2 + 30x - 36$

(8) $y = 2x + 2$

(9) $y' = 5x(3x+5)^2(3x+2)$

(10) $y' = \frac{3(3x^2-2x-3)}{(x^2+1)^2}$