与えられた2つの不定積分を求めます。 (1) $\int x \cos x \, dx$ (2) $\int \log x \, dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を求めます。

(1) $\int x \cos x \, dx$

(2) $\int \log x \, dx$

2. 解き方の手順

どちらの問題も部分積分を用いて解きます。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

(1) $\int x \cos x \, dx$

$u = x$, $dv = \cos x \, dx$ とします。すると、$du = dx$, $v = \sin x$ となります。部分積分の公式に代入すると、

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx$

$= x \sin x - (-\cos x) + C$

$= x \sin x + \cos x + C$

(2) $\int \log x \, dx$

$u = \log x$, $dv = dx$ とします。すると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$ となります。部分積分の公式に代入すると、

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= x \log x - \int 1 \, dx$

$= x \log x - x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C$

(2) $\int \log x \, dx = x \log x - x + C$