以下の4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$ (2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - 2y^2}{x^2 + y^2}$ (3) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + 2y^2}{2x^2 + y^2}$ (4) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 + x^2 y}{2x^2 + y^2}$

はい、承知いたしました。極限値を求める問題ですね。一つずつ解いていきましょう。

1. 問題の内容

以下の4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - 2y^2}{x^2 + y^2}$

(3) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + 2y^2}{2x^2 + y^2}$

(4) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 + x^2 y}{2x^2 + y^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$

極座標変換を行います。$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ とおくと、$(x,y) \to (0,0)$ のとき $r \to 0$ となります。

$\frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = \frac{(r \cos \theta)^2 (r \sin \theta)}{(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2} = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = r \cos^2 \theta \sin \theta$

したがって、

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = \lim_{r \to 0} r \cos^2 \theta \sin \theta = 0$

なぜなら、$|\cos^2 \theta \sin \theta| \le 1$ より $|r \cos^2 \theta \sin \theta| \le |r|$ であり、$r \to 0$ のとき $0$ に収束するからです。

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - 2y^2}{x^2 + y^2}$

まず、$y=0$ に沿って近づくと、$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1$ となります。

次に、$x=0$ に沿って近づくと、$\lim_{y \to 0} \frac{-2y^2}{y^2} = -2$ となります。

近づく方向によって極限値が異なるので、この極限は存在しません。

(3) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + 2y^2}{2x^2 + y^2}$

$y=mx$ に沿って近づくと、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 2(mx)^2}{2x^2 + (mx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 (1 + 2m^2)}{x^2 (2 + m^2)} = \frac{1 + 2m^2}{2 + m^2}$

$m$ の値によって極限値が異なるので、この極限は存在しません。

(4) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 + x^2 y}{2x^2 + y^2}$

極座標変換を行います。$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ とおくと、$(x,y) \to (0,0)$ のとき $r \to 0$ となります。

$\frac{x^3 + x^2 y}{2x^2 + y^2} = \frac{(r \cos \theta)^3 + (r \cos \theta)^2 (r \sin \theta)}{2(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2} = \frac{r^3 (\cos^3 \theta + \cos^2 \theta \sin \theta)}{r^2 (2\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = r \frac{\cos^3 \theta + \cos^2 \theta \sin \theta}{2\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}$

ここで、$2\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta + 1 - \cos^2 \theta = \cos^2 \theta + 1 \ge 1$ であることに注意すると、

$\left| \frac{\cos^3 \theta + \cos^2 \theta \sin \theta}{2\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} \right| \le \left| \cos^3 \theta + \cos^2 \theta \sin \theta \right| \le |\cos^3 \theta| + |\cos^2 \theta \sin \theta| \le 1 + 1 = 2$

したがって、

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 + x^2 y}{2x^2 + y^2} = \lim_{r \to 0} r \frac{\cos^3 \theta + \cos^2 \theta \sin \theta}{2\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 存在しない

(3) 存在しない

(4) 0