$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義を利用して解くことができます。

$e$ の定義は、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$

または、

$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

と表されます。

与えられた極限の式を $e$ の定義の形に近づけるために、変形を行います。

まず、$y = \frac{x}{2}$ と置くと、$x = 2y$ となります。$x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = \lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{2y}$

となります。

次に、指数法則を用いて式を整理します。

$\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^{2y} = \lim_{y \to \infty} ((1 + \frac{1}{y})^y)^2$

ここで、$e$ の定義より、

$\lim_{y \to \infty} (1 + \frac{1}{y})^y = e$

なので、

$\lim_{y \to \infty} ((1 + \frac{1}{y})^y)^2 = e^2$

となります。

3. 最終的な答え

$e^2$