$3\pi < \alpha < \frac{7}{2}\pi$ であり、$\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ であるとき、$\sin\frac{\alpha}{2}$, $\cos\frac{\alpha}{2}$, $\tan\frac{\alpha}{2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$3\pi < \alpha < \frac{7}{2}\pi$ であり、$\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ であるとき、$\sin\frac{\alpha}{2}$, $\cos\frac{\alpha}{2}$, $\tan\frac{\alpha}{2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\alpha}{2}$ の範囲を求める。

$3\pi < \alpha < \frac{7}{2}\pi$ より、$\frac{3}{2}\pi < \frac{\alpha}{2} < \frac{7}{4}\pi$ である。

これは $\frac{\alpha}{2}$ が第3象限にあることを意味する。したがって、$\sin\frac{\alpha}{2} < 0$、$\cos\frac{\alpha}{2} < 0$、$\tan\frac{\alpha}{2} > 0$ である。

半角の公式を用いる。

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$

$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$

$\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ を代入する。

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{8}{5}}{2} = \frac{4}{5}$

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{3}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2} = \frac{1}{5}$

$\sin\frac{\alpha}{2} < 0$ より、$\sin\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos\frac{\alpha}{2} < 0$ より、$\cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin\alpha$ を求める。$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ より、$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$3\pi < \alpha < \frac{7}{2}\pi$ なので、$\sin\alpha < 0$ である。よって、$\sin\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{-\frac{4}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}} = -2$

または、 $\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} = 2$。ただし第3象限なのでtanは正。符号ミスがあった。

$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{-\frac{4}{5}} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{\frac{8}{5}}{-\frac{4}{5}} = -2$

$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} = 2$。

$\frac{3}{2}\pi < \frac{\alpha}{2} < \frac{7}{4}\pi$ であり、この範囲ではtanは正なので、 $\tan\frac{\alpha}{2}$は正であるはずである。

3. 最終的な答え

(1) $\sin\frac{\alpha}{2} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

(3) $\tan\frac{\alpha}{2} = 2$