$\sin(-\frac{10}{3}\pi)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin(-\frac{10}{3}\pi)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、サイン関数の性質 $\sin(-x) = -\sin(x)$ を用いて、式を書き換えます。

$\sin(-\frac{10}{3}\pi) = -\sin(\frac{10}{3}\pi)$

次に、$\frac{10}{3}\pi$ を $2\pi$ の整数倍と、それ以外の角度の和の形に分解します。

$\frac{10}{3}\pi = \frac{6}{3}\pi + \frac{4}{3}\pi = 2\pi + \frac{4}{3}\pi$

サイン関数の周期性は $2\pi$ なので、$\sin(2\pi + x) = \sin(x)$ が成り立ちます。したがって、

$-\sin(\frac{10}{3}\pi) = -\sin(2\pi + \frac{4}{3}\pi) = -\sin(\frac{4}{3}\pi)$

$\frac{4}{3}\pi$ は $\pi + \frac{1}{3}\pi$ と書けるので、$\sin(\pi + x) = -\sin(x)$ を用いると

$-\sin(\frac{4}{3}\pi) = -\sin(\pi + \frac{1}{3}\pi) = -(-\sin(\frac{1}{3}\pi)) = \sin(\frac{\pi}{3})$

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{2}$