関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x}$ ここで、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ です。この関数 $f(x)$ の連続性を調べる必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x}$

ここで、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ です。この関数 $f(x)$ の連続性を調べる必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ の値によって場合分けを行います。

* 場合1: $0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき、 $0 < \tan x < 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} \tan^n x = 0$。したがって、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \frac{0}{1 + 0} = 0$

* 場合2: $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\tan x = 1$ なので、$\tan^n x = 1$。したがって、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

* 場合3: $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、 $\tan x > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} \tan^n x = \infty$。したがって、

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{n+1} x}{1 + \tan^n x} = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan x}{\frac{1}{\tan^n x} + 1} = \frac{\tan x}{0 + 1} = \tan x$

以上より、$f(x)$ は次のように表されます。

$f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < \frac{\pi}{4}) \\

\frac{1}{2} & (x = \frac{\pi}{4}) \\

\tan x & (\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2})

\end{cases}$

次に、連続性を調べます。

* $x = \frac{\pi}{4}$ での連続性

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4} -} f(x) = 0$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4} +} f(x) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4} -} f(x) \ne f(\frac{\pi}{4}) \ne \lim_{x \to \frac{\pi}{4} +} f(x)$

したがって、$x = \frac{\pi}{4}$ で不連続です。

* $0 < x < \frac{\pi}{4}$ において、$f(x) = 0$ なので連続です。

* $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ において、$f(x) = \tan x$ は連続です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は、$x = \frac{\pi}{4}$ で不連続です。それ以外の区間では連続です。