$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x = t$ と置換します。すると、$x \to 0$ のとき、$t \to 0$ となります。よって、求める極限は

$$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1+t)}{t}$$

となります。ここで、$\log_e(1+t)$ は自然対数を表します。

$y = \log_e(1+t)$ とすると、$e^y = 1+t$ なので、$t = e^y - 1$ です。

$t \to 0$ のとき、$y \to 0$ となります。よって、

$$\lim_{t \to 0} \frac{\log_e(1+t)}{t} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{e^y - 1} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{e^y - 1}{y}}$$

ここで、$\lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} = 1$ であることを利用します。これは、$e^y$ の $y=0$ における微分係数の定義そのものです。すなわち、$f(y) = e^y$ とすれば、$f'(y) = e^y$ であり、$f'(0) = e^0 = 1$ だからです。

したがって、

$$\lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{e^y - 1}{y}} = \frac{1}{1} = 1$$

よって、求める極限は 1 です。

別解として、ロピタルの定理を使うこともできます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1 + \sin x)}{\sin x}$$

において、$x \to 0$ のとき、分子も分母も 0 に収束するので、ロピタルの定理より、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \log_e(1 + \sin x)}{\frac{d}{dx} \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x}{1 + \sin x}}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1}{1 + 0} = 1$$

3. 最終的な答え

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