無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた級数は、初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{1}{3}$ の等比数列の無限級数です。

等比数列の無限級数の公式は、$|r| < 1$ のとき、

$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1 - r}$

今回の問題では、$a = 1$、$r = \frac{1}{3}$ なので、$|r| = \frac{1}{3} < 1$ を満たします。したがって、公式が使えます。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$