(4) $\sum_{k=1}^{5} k(k+3)$ をシグマ記号を使わずに展開し、計算結果を求める。 (5) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ を計算する。

1. 問題の内容

(4) $\sum_{k=1}^{5} k(k+3)$ をシグマ記号を使わずに展開し、計算結果を求める。

(5) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(4) まず、$\sum_{k=1}^{5} k(k+3)$ を展開する。

$k(k+3) = k^2 + 3k$ より、

$\sum_{k=1}^{5} (k^2 + 3k) = \sum_{k=1}^{5} k^2 + 3\sum_{k=1}^{5} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用いる。

$\sum_{k=1}^{5} k = \frac{5(5+1)}{2} = \frac{5 \times 6}{2} = 15$

$\sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5(5+1)(2 \times 5+1)}{6} = \frac{5 \times 6 \times 11}{6} = 55$

したがって、

$\sum_{k=1}^{5} k(k+3) = 55 + 3 \times 15 = 55 + 45 = 100$

(5) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ は初項1、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の無限和である。

等比数列の無限和の公式 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$ を用いると（ただし $|r|<1$）、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(4) $\sum_{k=1}^{5} k(k+3) = 100$

(5) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{3}{2}$