定積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2-x^2}}$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2-x^2}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数の置換積分を利用して解きます。

$x = \sqrt{2} \sin{\theta}$ と置換すると、$dx = \sqrt{2} \cos{\theta} d\theta$ となります。

また、積分範囲も変化します。

$x=0$ のとき、$\sqrt{2} \sin{\theta} = 0$ より $\sin{\theta} = 0$ なので、$\theta = 0$ です。

$x=1$ のとき、$\sqrt{2} \sin{\theta} = 1$ より $\sin{\theta} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2-x^2}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos{\theta} d\theta}{\sqrt{2 - 2\sin^2{\theta}}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos{\theta} d\theta}{\sqrt{2(1 - \sin^2{\theta})}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos{\theta} d\theta}{\sqrt{2\cos^2{\theta}}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos{\theta} d\theta}{\sqrt{2} \cos{\theta}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta = [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$