関数 $y = \frac{\cos x}{\sin x}$ の導関数を求めます。言い換えると、$y = \cot x$ の導関数を求めます。

## 問題1 (5)

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\cos x}{\sin x}$ の導関数を求めます。言い換えると、$y = \cot x$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、 $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。

ここでは、$u = \cos x$、 $v = \sin x$ です。

* $u' = -\sin x$

* $v' = \cos x$

したがって、

$y' = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(\sin x)^2}$

$y' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x}$

$y' = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、

$y' = \frac{-1}{\sin^2 x}$

$y' = -\csc^2 x$

3. 最終的な答え

$y' = -\csc^2 x$

## 問題2 (8)

1. 問題の内容

関数 $y = \tan^{-1}(2x+1)$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を使います。$\tan^{-1}u$ の微分は $\frac{1}{1+u^2}$ です。

ここでは、$u = 2x+1$ です。

$y = \tan^{-1}(u)$ とすると、$y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

まず、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2}$ です。

次に、$u = 2x+1$ なので、$\frac{du}{dx} = 2$ です。

したがって、

$y' = \frac{1}{1+(2x+1)^2} \cdot 2$

$y' = \frac{2}{1+(4x^2+4x+1)}$

$y' = \frac{2}{4x^2+4x+2}$

$y' = \frac{2}{2(2x^2+2x+1)}$

$y' = \frac{1}{2x^2+2x+1}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{2x^2+2x+1}$