領域 $D = \{(x, y) \mid y^2 \le x \le y+2\}$ 上で、二重積分 $\iint_D y \, dxdy$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid y^2 \le x \le y+2\}$ 上で、二重積分 $\iint_D y \, dxdy$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を決定します。不等式 $y^2 \le x \le y+2$ より、$x$の積分範囲は $y^2$ から $y+2$ です。次に、$y$ の積分範囲を求めるために、$y^2 = y+2$ を解きます。

$y^2 - y - 2 = 0$

$(y - 2)(y + 1) = 0$

$y = 2, -1$

したがって、$y$ の積分範囲は $-1 \le y \le 2$ です。

これで、二重積分を累次積分として計算できます。

$\iint_D y \, dxdy = \int_{-1}^2 \int_{y^2}^{y+2} y \, dx dy$

まず、$x$ について積分します。

$\int_{y^2}^{y+2} y \, dx = y[x]_{y^2}^{y+2} = y(y+2 - y^2) = y^2 + 2y - y^3$

次に、$y$ について積分します。

$\int_{-1}^2 (y^2 + 2y - y^3) \, dy = [\frac{1}{3}y^3 + y^2 - \frac{1}{4}y^4]_{-1}^2$

$= (\frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - \frac{1}{4}(2)^4) - (\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 - \frac{1}{4}(-1)^4)$

$= (\frac{8}{3} + 4 - \frac{16}{4}) - (-\frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{4})$

$= (\frac{8}{3} + 4 - 4) - (-\frac{1}{3} + \frac{3}{3} - \frac{1}{4})$

$= \frac{8}{3} - (\frac{2}{3} - \frac{1}{4})$

$= \frac{8}{3} - (\frac{8}{12} - \frac{3}{12})$

$= \frac{8}{3} - \frac{5}{12}$

$= \frac{32}{12} - \frac{5}{12}$

$= \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{4}$