曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた図形を、$x$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた図形を、$x$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を用いて計算できます。$x$ 軸を軸として回転させる場合、体積 $V$ は以下の式で表されます。

$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$

ここで、$a$ と $b$ は積分範囲の下端と上端です。この問題では、$y = \sin x$ であり、$x$ の範囲は $0 \le x \le \pi$ なので、$a = 0$、 $b = \pi$ となります。したがって、体積 $V$ は以下の積分で求められます。

$V = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin x)^2 dx$

$\sin^2 x$ を半角の公式を用いて変形します。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

これを積分に代入します。

$V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx$

$V = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx$

積分を実行します。

$V = \frac{\pi}{2} [x - \frac{1}{2} \sin 2x]_{0}^{\pi}$

$V = \frac{\pi}{2} [(\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0)]$

$V = \frac{\pi}{2} [(\pi - 0) - (0 - 0)]$

$V = \frac{\pi}{2} \cdot \pi$

$V = \frac{\pi^2}{2}$

3. 最終的な答え

$V = \frac{\pi^2}{2}$