$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のすべての$\theta$において、不等式 $k(\cos\theta + a^3\sin\theta) \geq \sin\theta\cos\theta$ が成り立つような数 $k$ の最小値を求める。ただし、$a$は正の定数とする。

解析学三角関数不等式最大値最小値微分
2025/7/27

1. 問題の内容

0θπ20 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} のすべてのθ\thetaにおいて、不等式 k(cosθ+a3sinθ)sinθcosθk(\cos\theta + a^3\sin\theta) \geq \sin\theta\cos\theta が成り立つような数 kk の最小値を求める。ただし、aaは正の定数とする。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形する。
k(cosθ+a3sinθ)sinθcosθk(\cos\theta + a^3\sin\theta) \geq \sin\theta\cos\theta
θ=0\theta = 0 のとき、cosθ=1\cos\theta = 1sinθ=0\sin\theta = 0なので、 k(1+0)0k(1 + 0) \geq 0 となり、k0k \geq 0である。
θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} のとき、cosθ=0\cos\theta = 0sinθ=1\sin\theta = 1なので、k(0+a3)0k(0 + a^3) \geq 0 となり、ka30ka^3 \geq 0a>0a>0なので、k0k \geq 0である。
0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}の場合を考える。cosθ+a3sinθ>0\cos\theta + a^3\sin\theta > 0 なので、
ksinθcosθcosθ+a3sinθk \geq \frac{\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta + a^3\sin\theta}
ここで、f(θ)=sinθcosθcosθ+a3sinθf(\theta) = \frac{\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta + a^3\sin\theta} とおく。kk の最小値は f(θ)f(\theta) の最大値である。
t=tanθt = \tan\theta とおくと、sinθ=t1+t2\sin\theta = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}cosθ=11+t2\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}となり、
f(θ)=t1+t211+t2+a3t1+t2=t1+t21+t21+a3t=t(1+t2)(1+a3t)1+t2=t(1+a3t)1+t2f(\theta) = \frac{\frac{t}{1+t^2}}{\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} + \frac{a^3t}{\sqrt{1+t^2}}} = \frac{t}{1+t^2} \cdot \frac{\sqrt{1+t^2}}{1+a^3t} = \frac{t}{(1+t^2)(1+a^3t)} \sqrt{1+t^2} = \frac{t}{(1+a^3t)\sqrt{1+t^2}} となる。
g(t)=t(1+a3t)(1+t2)g(t) = \frac{t}{(1+a^3t)(1+t^2)} を考え、f(θ)f(\theta)を微分して最大値を求めると計算が複雑になるので、別の方法を試す。
cosθ+a3sinθ=1+a6sin(θ+α)\cos\theta + a^3\sin\theta = \sqrt{1+a^6}\sin(\theta + \alpha) (ただし、α\alphatanα=1a3\tan\alpha = \frac{1}{a^3}を満たす)
f(θ)=sinθcosθcosθ+a3sinθf(\theta) = \frac{\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta + a^3\sin\theta} の最大値を求める。
両辺の逆数をとると、1f(θ)=cosθ+a3sinθsinθcosθ=1sinθ+a3cosθ\frac{1}{f(\theta)} = \frac{\cos\theta + a^3\sin\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta} + \frac{a^3}{\cos\theta}.
1f(θ)\frac{1}{f(\theta)}の最小値を求めることは、f(θ)f(\theta)の最大値を求めることと同じである。
g(θ)=1sinθ+a3cosθg(\theta) = \frac{1}{\sin\theta} + \frac{a^3}{\cos\theta} を微分して、最小値を求める。
g(θ)=cosθsin2θ+a3sinθcos2θ=0g'(\theta) = -\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} + \frac{a^3\sin\theta}{\cos^2\theta} = 0
cosθsin2θ=a3sinθcos2θ\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} = \frac{a^3\sin\theta}{\cos^2\theta}
cos3θ=a3sin3θ\cos^3\theta = a^3\sin^3\theta
cosθ=asinθ\cos\theta = a\sin\theta
tanθ=1a\tan\theta = \frac{1}{a}
sinθ=11+1a2=aa2+1\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}} = \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}, cosθ=11+a2\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}
g(θ)=a2+1a+a31+a2=a2+1a+a2a2+1=a2+1+a3a2+1a=(1+a3)a2+1ag(\theta) = \frac{\sqrt{a^2+1}}{a} + a^3\sqrt{1+a^2} = \frac{\sqrt{a^2+1}}{a} + a^2\sqrt{a^2+1} = \frac{\sqrt{a^2+1}+a^3\sqrt{a^2+1}}{a} = \frac{(1+a^3)\sqrt{a^2+1}}{a}.
よって、f(θ)max=a(1+a3)a2+1=1a1(1+a3)a2+1=1(a1+a2)a2+1f(\theta)_{max} = \frac{a}{(1+a^3)\sqrt{a^2+1}} = \frac{1}{a^{-1}(1+a^3)\sqrt{a^2+1}} = \frac{1}{(a^{-1}+a^2)\sqrt{a^2+1}}.
sinθ=11+a2\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}, cosθ=a1+a2\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}のとき
f(θ)=a1+a2a1+a2+a31+a2=a(1+a2)1+a2a(1+a2)=1(1+a2)3/2f(\theta) = \frac{\frac{a}{1+a^2}}{\frac{a}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{a^3}{\sqrt{1+a^2}}} = \frac{a}{(1+a^2)} \frac{\sqrt{1+a^2}}{a(1+a^2)} = \frac{1}{(1+a^2)^{3/2}}
a1+a31aa2+1=sinθcosθcosθ+a3sinθ=a1+a211+a2a+a31+a2=a(1+a2)1+a2\frac{a}{1+a^3\frac{1}{a}\sqrt{a^2+1}} = \frac{\sin\theta \cos\theta}{\cos\theta + a^3 \sin\theta} = \frac{\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}}{\frac{a+a^3}{\sqrt{1+a^2}}} = \frac{a}{(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}. よって、ka(1+a2)1+a2k \geq \frac{a}{(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}

3. 最終的な答え

a(1+a2)1+a2\frac{a}{(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}

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