$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のすべての$\theta$において、不等式 $k(\cos\theta + a^3\sin\theta) \geq \sin\theta\cos\theta$ が成り立つような数 $k$ の最小値を求める。ただし、$a$は正の定数とする。
2025/7/27
1. 問題の内容
のすべてのにおいて、不等式 が成り立つような数 の最小値を求める。ただし、は正の定数とする。
2. 解き方の手順
与えられた不等式を変形する。
のとき、、なので、 となり、である。
のとき、、なので、 となり、。なので、である。
の場合を考える。 なので、
ここで、 とおく。 の最小値は の最大値である。
とおくと、、となり、
となる。
を考え、を微分して最大値を求めると計算が複雑になるので、別の方法を試す。
(ただし、はを満たす)
の最大値を求める。
両辺の逆数をとると、.
の最小値を求めることは、の最大値を求めることと同じである。
を微分して、最小値を求める。
,
.
よって、.
, のとき
. よって、。