曲線 $y = x^2$ と曲線 $y = 4x - x^2$ で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2$ と曲線 $y = 4x - x^2$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$x^2 = 4x - x^2$ より、

$2x^2 - 4x = 0$

$2x(x - 2) = 0$

よって、$x = 0, 2$

交点のx座標は $x = 0$ と $x = 2$ です。

次に、区間 $[0, 2]$ で $y = 4x - x^2$ と $y = x^2$ のどちらが大きいかを調べます。

$x = 1$ を代入すると、$y = 4x - x^2 = 4(1) - (1)^2 = 3$ であり、$y = x^2 = (1)^2 = 1$ です。

したがって、区間 $[0, 2]$ で $y = 4x - x^2$ の方が大きいです。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_0^2 (4x - x^2 - x^2) dx = \int_0^2 (4x - 2x^2) dx$

$S = \left[ 2x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^2$

$S = 2(2)^2 - \frac{2}{3}(2)^3 - (0)$

$S = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$