$t > 0$、$\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ に対して、関数 $u(t, \mathbf{x}) = (4\pi t)^{-n/2} e^{-\frac{|\mathbf{x}|^2}{4t}}$ が与えられています。このとき、$\frac{\partial u}{\partial t} - \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$ を計算します。

1. 問題の内容

$t > 0$、$\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ に対して、関数 $u(t, \mathbf{x}) = (4\pi t)^{-n/2} e^{-\frac{|\mathbf{x}|^2}{4t}}$ が与えられています。このとき、$\frac{\partial u}{\partial t} - \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$|\mathbf{x}|^2 = \sum_{k=1}^n x_k^2$ であることに注意します。

(1) $\frac{\partial u}{\partial t}$ を計算します。

$u(t, \mathbf{x}) = (4\pi)^{-n/2} t^{-n/2} e^{-\frac{\sum_{k=1}^n x_k^2}{4t}}$

$\frac{\partial u}{\partial t} = (4\pi)^{-n/2} \left[ -\frac{n}{2}t^{-n/2-1} e^{-\frac{\sum_{k=1}^n x_k^2}{4t}} + t^{-n/2} e^{-\frac{\sum_{k=1}^n x_k^2}{4t}} \cdot \frac{\sum_{k=1}^n x_k^2}{4t^2} \right]$

$\frac{\partial u}{\partial t} = (4\pi t)^{-n/2} e^{-\frac{|\mathbf{x}|^2}{4t}} \left[ -\frac{n}{2t} + \frac{|\mathbf{x}|^2}{4t^2} \right]$

(2) $\frac{\partial u}{\partial x_k}$ を計算します。

$\frac{\partial u}{\partial x_k} = (4\pi t)^{-n/2} e^{-\frac{|\mathbf{x}|^2}{4t}} \cdot \left( -\frac{2x_k}{4t} \right) = -\frac{x_k}{2t} u(t, \mathbf{x})$

(3) $\frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$ を計算します。

$\frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} = \frac{\partial}{\partial x_k} \left( -\frac{x_k}{2t} u(t, \mathbf{x}) \right) = -\frac{1}{2t} u(t, \mathbf{x}) - \frac{x_k}{2t} \frac{\partial u}{\partial x_k} = -\frac{1}{2t} u(t, \mathbf{x}) - \frac{x_k}{2t} \left( -\frac{x_k}{2t} u(t, \mathbf{x}) \right)$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} = -\frac{1}{2t} u(t, \mathbf{x}) + \frac{x_k^2}{4t^2} u(t, \mathbf{x})$

(4) $\sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$ を計算します。

$\sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} = \sum_{k=1}^n \left( -\frac{1}{2t} u(t, \mathbf{x}) + \frac{x_k^2}{4t^2} u(t, \mathbf{x}) \right) = -\frac{n}{2t} u(t, \mathbf{x}) + \frac{\sum_{k=1}^n x_k^2}{4t^2} u(t, \mathbf{x})$

$\sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} = -\frac{n}{2t} u(t, \mathbf{x}) + \frac{|\mathbf{x}|^2}{4t^2} u(t, \mathbf{x})$

(5) $\frac{\partial u}{\partial t} - \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2}$ を計算します。

$\frac{\partial u}{\partial t} - \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} = u(t, \mathbf{x}) \left[ -\frac{n}{2t} + \frac{|\mathbf{x}|^2}{4t^2} - \left( -\frac{n}{2t} + \frac{|\mathbf{x}|^2}{4t^2} \right) \right] = 0$

3. 最終的な答え

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