曲線 $y = x^3 - 2x + 1$ の接線で、点 $(2, -3)$ を通るものをすべて求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 2x + 1$ の接線で、点 $(2, -3)$ を通るものをすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^3 - 2x + 1$ 上の点 $(t, t^3 - 2t + 1)$ における接線を求めます。

$y' = 3x^2 - 2$ なので、点 $(t, t^3 - 2t + 1)$ における接線の傾きは $3t^2 - 2$ です。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (t^3 - 2t + 1) = (3t^2 - 2)(x - t)$

この接線が点 $(2, -3)$ を通るので、上の式に $x = 2, y = -3$ を代入します。

$-3 - (t^3 - 2t + 1) = (3t^2 - 2)(2 - t)$

$-3 - t^3 + 2t - 1 = 6t^2 - 3t^3 - 4 + 2t$

$-t^3 + 2t - 4 = -3t^3 + 6t^2 + 2t - 4$

$2t^3 - 6t^2 = 0$

$2t^2(t - 3) = 0$

したがって、$t = 0, 3$ となります。

$t = 0$ のとき、接点は $(0, 1)$ で、接線の傾きは $-2$ なので、接線の方程式は $y - 1 = -2(x - 0)$ となり、$y = -2x + 1$ です。

$t = 3$ のとき、接点は $(3, 22)$ で、接線の傾きは $3(3^2) - 2 = 27 - 2 = 25$ なので、接線の方程式は $y - 22 = 25(x - 3)$ となり、$y = 25x - 53$ です。

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、

$y = -2x + 1$

$y = 25x - 53$

です。