$\log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{9}$, $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の値を小さい順に並べる問題です。

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{9}$, $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$, $\log_{\frac{1}{8}} 3$ の値を小さい順に並べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの対数の値を計算します。

* $\log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{9}$

$\frac{1}{9}$ を底とする $\frac{1}{9}$ の対数は、$\frac{1}{9}$ を何乗すると $\frac{1}{9}$ になるかを表します。

これは1乗なので、$\log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{9} = 1$ です。

* $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}$ を底とする $\frac{1}{3}$ の対数を求めます。これは直接的な計算が難しいので、底の変換公式を使います。常用対数を使うと、

$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3} = \frac{\log \frac{1}{3}}{\log \frac{1}{4}} = \frac{\log 3^{-1}}{\log 4^{-1}} = \frac{-\log 3}{-\log 4} = \frac{\log 3}{\log 4} = \frac{\log 3}{2\log 2}$

$\log 3 \approx 0.4771$, $\log 2 \approx 0.3010$ なので、

$\frac{\log 3}{2\log 2} \approx \frac{0.4771}{2 \times 0.3010} \approx \frac{0.4771}{0.6020} \approx 0.7925$

* $\log_{\frac{1}{8}} 3$

$\frac{1}{8}$ を底とする 3 の対数を求めます。これも底の変換公式を使います。常用対数を使うと、

$\log_{\frac{1}{8}} 3 = \frac{\log 3}{\log \frac{1}{8}} = \frac{\log 3}{\log 8^{-1}} = \frac{\log 3}{-\log 8} = \frac{\log 3}{-3\log 2}$

$\log 3 \approx 0.4771$, $\log 2 \approx 0.3010$ なので、

$\frac{\log 3}{-3\log 2} \approx \frac{0.4771}{-3 \times 0.3010} \approx \frac{0.4771}{-0.9030} \approx -0.5283$

それぞれの値を比較すると、

$\log_{\frac{1}{8}} 3 \approx -0.5283$

$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3} \approx 0.7925$

$\log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{9} = 1$

したがって、小さい順に並べると $\log_{\frac{1}{8}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3} < \log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{9}$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_{\frac{1}{8}} 3, \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{3}, \log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{9}$