次の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{1}{\cos x} dx$ (2) $\int \frac{\sin x - \sin^3 x}{1 + \cos x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

(1) $\int \frac{1}{\cos x} dx$

(2) $\int \frac{\sin x - \sin^3 x}{1 + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\int \frac{1}{\cos x} dx = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx$

ここで、$t = \sin x$ とおくと、$dt = \cos x dx$ となるので、

$\int \frac{1}{1 - t^2} dt = \int \frac{1}{(1 - t)(1 + t)} dt = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t}) dt$

$= \frac{1}{2} (-\log|1 - t| + \log|1 + t|) + C = \frac{1}{2} \log|\frac{1 + t}{1 - t}| + C$

$= \frac{1}{2} \log|\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}| + C = \frac{1}{2} \log|\frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x}| + C$

$= \frac{1}{2} \log|\frac{(1 + \sin x)^2}{\cos^2 x}| + C = \log|\frac{1 + \sin x}{\cos x}| + C$

$= \log|\sec x + \tan x| + C$

(2)

$\int \frac{\sin x - \sin^3 x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{\sin x(1 - \sin^2 x)}{1 + \cos x} dx = \int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx$

ここで、$t = \cos x$ とおくと、$dt = -\sin x dx$ となるので、

$\int \frac{-t^2}{1 + t} dt = -\int \frac{t^2}{t + 1} dt = -\int \frac{t^2 - 1 + 1}{t + 1} dt = -\int (t - 1 + \frac{1}{t + 1}) dt$

$= -\frac{t^2}{2} + t - \log|t + 1| + C = -\frac{\cos^2 x}{2} + \cos x - \log|\cos x + 1| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\log|\sec x + \tan x| + C$

(2) $-\frac{\cos^2 x}{2} + \cos x - \log|\cos x + 1| + C$