$x = (x_1, x_2, ..., x_n) \in R^n$ に対し、$|x| = (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)^{1/2}$とするとき、$m \in N$に対し、$\sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2} |x|^m$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x = (x_1, x_2, ..., x_n) \in R^n$ に対し、$|x| = (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)^{1/2}$とするとき、$m \in N$に対し、$\sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2} |x|^m$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|x|^m$ を $x_k$ で偏微分することを考える。

$|x| = (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)^{1/2}$ なので、$|x|^m = (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)^{m/2}$ である。

$\frac{\partial}{\partial x_k} |x|^m = \frac{m}{2} (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)^{\frac{m}{2} - 1} \cdot 2x_k = m (x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)^{\frac{m-2}{2}} x_k = m |x|^{m-2} x_k$

次に、$\frac{\partial^2}{\partial x_k^2} |x|^m = \frac{\partial}{\partial x_k} (m |x|^{m-2} x_k)$ を計算する。

$\frac{\partial}{\partial x_k} (m |x|^{m-2} x_k) = m \frac{\partial}{\partial x_k} (|x|^{m-2} x_k) = m ( \frac{\partial}{\partial x_k} |x|^{m-2} \cdot x_k + |x|^{m-2} \cdot \frac{\partial}{\partial x_k} x_k)$

$= m ( (m-2) |x|^{m-4} x_k \cdot x_k + |x|^{m-2} \cdot 1 ) = m ( (m-2) |x|^{m-4} x_k^2 + |x|^{m-2} )$

したがって、$\sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2} |x|^m = \sum_{k=1}^n m ( (m-2) |x|^{m-4} x_k^2 + |x|^{m-2} ) = m ( (m-2) |x|^{m-4} \sum_{k=1}^n x_k^2 + \sum_{k=1}^n |x|^{m-2} )$

$= m ( (m-2) |x|^{m-4} |x|^2 + n |x|^{m-2} ) = m ( (m-2) |x|^{m-2} + n |x|^{m-2} ) = m (m-2+n) |x|^{m-2} = m (n+m-2) |x|^{m-2}$

3. 最終的な答え

$m(n+m-2)|x|^{m-2}$