定積分 $\int_{-2}^{2} |x^2 - 2x - 3| dx$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} |x^2 - 2x - 3| dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

絶対値の中身の符号で積分区間を分割します。

まず、$x^2 - 2x - 3 = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0$ より、$x = 3, -1$ です。

したがって、$x < -1$ または $x > 3$ のとき、$x^2 - 2x - 3 > 0$ であり、$-1 < x < 3$ のとき、$x^2 - 2x - 3 < 0$ です。

積分区間は $[-2, 2]$ ですので、積分区間を $[-2, -1]$ と $[-1, 2]$ に分割します。

$-2 \le x \le -1$ のとき、$x^2 - 2x - 3 \ge 0$ であり、$-1 \le x \le 2$ のとき、$x^2 - 2x - 3 \le 0$ です。

したがって、

$\int_{-2}^{2} |x^2 - 2x - 3| dx = \int_{-2}^{-1} (x^2 - 2x - 3) dx + \int_{-1}^{2} -(x^2 - 2x - 3) dx$

$= \int_{-2}^{-1} (x^2 - 2x - 3) dx + \int_{-1}^{2} (-x^2 + 2x + 3) dx$

$F(x) = \int (x^2 - 2x - 3) dx = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + C$

$G(x) = \int (-x^2 + 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + C$

より、

$\int_{-2}^{-1} (x^2 - 2x - 3) dx = F(-1) - F(-2) = (\frac{-1}{3} - 1 + 3) - (\frac{-8}{3} - 4 + 6) = \frac{5}{3} - (\frac{-8}{3} + 2) = \frac{5}{3} + \frac{8}{3} - 2 = \frac{13}{3} - \frac{6}{3} = \frac{7}{3}$

$\int_{-1}^{2} (-x^2 + 2x + 3) dx = G(2) - G(-1) = (-\frac{8}{3} + 4 + 6) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = (-\frac{8}{3} + 10) - (\frac{1}{3} - 2) = \frac{-8}{3} + \frac{30}{3} - \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{22}{3} - \frac{-5}{3} = \frac{27}{3} = 9$

よって、$\int_{-2}^{2} |x^2 - 2x - 3| dx = \frac{7}{3} + 9 = \frac{7}{3} + \frac{27}{3} = \frac{34}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{34}{3}$