$ \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{6} $ のとき、$ f(x) = \sqrt{3} \cos x + \sin x $ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{6}$ のとき、$f(x) = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を三角関数の合成を使って変形します。

$f(x) = \sqrt{3} \cos x + \sin x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x)$

$= 2(\cos \frac{\pi}{6} \cos x + \sin \frac{\pi}{6} \sin x) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

ここで、$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{6}$ より、$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3}$ となり、

$\frac{7\pi}{12} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{7\pi}{6}$

$\sin(x + \frac{\pi}{3})$ の最大値と最小値を考えます。

$y = x + \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\sin y$ の範囲は、$\frac{7\pi}{12} \le y \le \frac{7\pi}{6}$ です。

$\sin y$ は、$y = \frac{\pi}{2}$ で最大値 1 をとります。

$\frac{7\pi}{12} < \frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{6}$ なので、$\sin y$ の最大値は 1 です。

このとき、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ となります。

しかし、$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{6}$ より、$x = \frac{\pi}{6}$ は条件を満たしません。

$\frac{7\pi}{12} \le y \le \frac{7\pi}{6}$の範囲で $\sin y$ が最大となるのは $y = \frac{\pi}{2}$ の近傍です。

$\sin y$ の最大値は、$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ ですが、$y = \frac{\pi}{2}$のとき、$x = \frac{\pi}{6}$ となり、条件を満たしません。

したがって、$y = \frac{7\pi}{12}$のとき，$\sin y = \sin(\frac{7\pi}{12})$ が最大値となり、$f(x)$の最大値は、$2 \sin(\frac{7\pi}{12})$ となります。

このとき、$x = \frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$となり、条件を満たします。

$\sin y$ の最小値は、$y = \frac{7\pi}{6}$ のとき、$\sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ です。

このとき、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$ より、$x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$ となり、条件を満たします。

したがって、$\sin y$ の最小値は、$-\frac{1}{2}$ です。

$f(x)$の最大値は $2 \sin(\frac{7\pi}{12}) = 2 \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = 2(\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

$f(x)$の最小値は $2(-\frac{1}{2}) = -1$

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

最小値: $-1$