(2) $y = \frac{x-4}{x^2 - 2x - 3}$ の不定積分を求める。 (3) $y = \frac{x+1}{x^2 + x + 1}$ の不定積分を求める。

1. 問題の内容

(2) $y = \frac{x-4}{x^2 - 2x - 3}$ の不定積分を求める。

(3) $y = \frac{x+1}{x^2 + x + 1}$ の不定積分を求める。

2. 解き方の手順

(2)

まず、分母を因数分解する。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

次に、与えられた関数を部分分数分解する。

$\frac{x-4}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}$

両辺に $(x-3)(x+1)$ をかける。

$x-4 = A(x+1) + B(x-3)$

$x-4 = (A+B)x + (A-3B)$

係数を比較して連立方程式を解く。

$A+B = 1$

$A-3B = -4$

上の式から下の式を引くと、$4B = 5$ より $B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B = 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$

したがって、

$\frac{x-4}{x^2 - 2x - 3} = -\frac{1}{4(x-3)} + \frac{5}{4(x+1)}$

不定積分は

$\int \frac{x-4}{x^2 - 2x - 3} dx = \int \left( -\frac{1}{4(x-3)} + \frac{5}{4(x+1)} \right) dx = -\frac{1}{4} \int \frac{1}{x-3} dx + \frac{5}{4} \int \frac{1}{x+1} dx$

$= -\frac{1}{4} \ln |x-3| + \frac{5}{4} \ln |x+1| + C$

(3)

分子を $x^2+x+1$ の微分形にする。

$x^2+x+1$ を微分すると $2x+1$ になる。

$x+1 = \frac{1}{2} (2x+1) + \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{x+1}{x^2 + x + 1} = \frac{\frac{1}{2} (2x+1) + \frac{1}{2}}{x^2 + x + 1} = \frac{1}{2} \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{x^2 + x + 1}$

$\int \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} dx = \ln |x^2+x+1|$

$\int \frac{1}{x^2 + x + 1} dx = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dx$

ここで、$u = x + \frac{1}{2}$ とすると $du = dx$ なので

$\int \frac{1}{u^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} du = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arctan \left( \frac{u}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2u}{\sqrt{3}} \right) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + C$

よって、

$\int \frac{x+1}{x^2 + x + 1} dx = \frac{1}{2} \ln |x^2+x+1| + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + C = \frac{1}{2} \ln |x^2+x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + C$

3. 最終的な答え

(2) $-\frac{1}{4} \ln |x-3| + \frac{5}{4} \ln |x+1| + C$

(3) $\frac{1}{2} \ln |x^2+x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + C$