与えられた積分 $\int x^3 \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^3 \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分法を用いて解きます。部分積分法は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ で表されます。ここで、$u = \log x$ と $dv = x^3 \, dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{x} \, dx$ と $v = \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}$ となります。

したがって、

$\int x^3 \log x \, dx = (\log x) \left( \frac{x^4}{4} \right) - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx$

$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C$

$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} + C$