与えられた2つの積分を計算します。 (1) $I_1 = \int x^2 \log x \, dx$ (2) $I_2 = \int x \sin(2x) \, dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの積分を計算します。

(1) $I_1 = \int x^2 \log x \, dx$

(2) $I_2 = \int x \sin(2x) \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $I_1 = \int x^2 \log x \, dx$ を計算します。

部分積分を用います。$u = \log x$ と $dv = x^2 \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$ と $v = \frac{x^3}{3}$ です。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$I_1 = \int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^2}{3} \, dx$

$I_1 = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

(2) $I_2 = \int x \sin(2x) \, dx$ を計算します。

部分積分を用います。$u = x$ と $dv = \sin(2x) \, dx$ とすると、$du = dx$ と $v = -\frac{1}{2} \cos(2x)$ です。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$I_2 = \int x \sin(2x) \, dx = x \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) - \int \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) \, dx = -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx$

$I_2 = -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) + C = -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $I_1 = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

(2) $I_2 = -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$