与えられた3つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{1}{x(x+2)}dx$ (2) $\int \frac{1}{x^2-4}dx$ (3) $\int \frac{x}{(x-1)(2x-1)}dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{x(x+2)}dx$

(2) $\int \frac{1}{x^2-4}dx$

(3) $\int \frac{x}{(x-1)(2x-1)}dx$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}$とおくと、

$1 = A(x+2) + Bx$

$x = 0$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$x = -2$ のとき $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

よって

$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{2(x+2)}$

$\int \frac{1}{x(x+2)} dx = \int (\frac{1}{2x} - \frac{1}{2(x+2)})dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x}dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+2}dx = \frac{1}{2}\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x+2| + C = \frac{1}{2}\ln|\frac{x}{x+2}| + C$

(2) 部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$とおくと、

$1 = A(x+2) + B(x-2)$

$x = 2$ のとき $1 = 4A$ より $A = \frac{1}{4}$

$x = -2$ のとき $1 = -4B$ より $B = -\frac{1}{4}$

よって

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{1}{4(x-2)} - \frac{1}{4(x+2)}$

$\int \frac{1}{x^2-4}dx = \int (\frac{1}{4(x-2)} - \frac{1}{4(x+2)})dx = \frac{1}{4}\int \frac{1}{x-2}dx - \frac{1}{4}\int \frac{1}{x+2}dx = \frac{1}{4}\ln|x-2| - \frac{1}{4}\ln|x+2| + C = \frac{1}{4}\ln|\frac{x-2}{x+2}| + C$

(3) 部分分数分解を利用します。

$\frac{x}{(x-1)(2x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{2x-1}$とおくと、

$x = A(2x-1) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき $1 = A$ より $A=1$

$x = \frac{1}{2}$ のとき $\frac{1}{2} = B(\frac{1}{2} - 1) = -\frac{1}{2}B$ より $B = -1$

よって

$\frac{x}{(x-1)(2x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2x-1}$

$\int \frac{x}{(x-1)(2x-1)}dx = \int (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{2x-1})dx = \int \frac{1}{x-1}dx - \int \frac{1}{2x-1}dx = \ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C = \ln|x-1| - \ln|\sqrt{2x-1}|+C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{x(x+2)}dx = \frac{1}{2}\ln|\frac{x}{x+2}| + C$

(2) $\int \frac{1}{x^2-4}dx = \frac{1}{4}\ln|\frac{x-2}{x+2}| + C$

(3) $\int \frac{x}{(x-1)(2x-1)}dx = \ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C = \ln|x-1| - \ln|\sqrt{2x-1}|+C$