$x = au + bv$ および $y = cu + dv$ のとき、$J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = ad - bc$ を示す問題です。ここで、$J$ はヤコビアンです。

1. 問題の内容

$x = au + bv$ および $y = cu + dv$ のとき、$J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = ad - bc$ を示す問題です。ここで、$J$ はヤコビアンです。

2. 解き方の手順

ヤコビアンは、以下の式で定義されます。

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J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}

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まず、各偏微分を計算します。

$\frac{\partial x}{\partial u} = a$

$\frac{\partial x}{\partial v} = b$

$\frac{\partial y}{\partial u} = c$

$\frac{\partial y}{\partial v} = d$

次に、これらの偏微分をヤコビアンの式に代入します。

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J = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

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したがって、$J = ad - bc$ が示されました。

3. 最終的な答え

$J = ad - bc$