関数 $f(x, y) = e^{x+y}(x+y+1)$ に対して、二次関数 $g(x,y) = a_0 + a_1 x + a_2 y + a_{11}x^2 + a_{12}xy + a_{22}y^2$ を定め、$f(x, y) - g(x, y) = O((x+1)^2 + (y+1)^2)$ となるように、$a_0, a_1, a_2, a_{11}, a_{12}, a_{22}$ の値を求める問題です。$O((x+1)^2 + (y+1)^2)$ は、$(x, y)$ が $(-1, -1)$ に近づくとき、$(x+1)^2 + (y+1)^2$ より早く0に収束することを意味します。つまり、$f(x, y)$ と $g(x, y)$ は $(-1, -1)$ で同じ値、同じ1階偏導関数、同じ2階偏導関数を持つ必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = e^{x+y}(x+y+1)$ に対して、二次関数 $g(x,y) = a_0 + a_1 x + a_2 y + a_{11}x^2 + a_{12}xy + a_{22}y^2$ を定め、$f(x, y) - g(x, y) = O((x+1)^2 + (y+1)^2)$ となるように、$a_0, a_1, a_2, a_{11}, a_{12}, a_{22}$ の値を求める問題です。$O((x+1)^2 + (y+1)^2)$ は、$(x, y)$ が $(-1, -1)$ に近づくとき、$(x+1)^2 + (y+1)^2$ より早く0に収束することを意味します。つまり、$f(x, y)$ と $g(x, y)$ は $(-1, -1)$ で同じ値、同じ1階偏導関数、同じ2階偏導関数を持つ必要があります。

2. 解き方の手順

まず、関数$f(x, y)$ の $(-1, -1)$ における値、$x$ に関する偏微分、 $y$ に関する偏微分、$x$ に関する2回偏微分、$y$ に関する2回偏微分、そして $x, y$ に関する偏微分を計算します。

次に、関数 $g(x, y)$ についても同様に計算します。

$f(x, y)$ と $g(x, y)$ の対応する値と偏微分を等しいとおき、連立方程式を解くことで、$a_0, a_1, a_2, a_{11}, a_{12}, a_{22}$ の値を決定します。

(1) $f(x,y)$ の $(-1, -1)$ での値：

$f(-1, -1) = e^{-2}(-1 -1 + 1) = -e^{-2}$

(2) $f(x,y)$ の偏微分：

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x+y}(x+y+1) + e^{x+y} = e^{x+y}(x+y+2)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x+y}(x+y+1) + e^{x+y} = e^{x+y}(x+y+2)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^{x+y}(x+y+2) + e^{x+y} = e^{x+y}(x+y+3)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = e^{x+y}(x+y+2) + e^{x+y} = e^{x+y}(x+y+3)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = e^{x+y}(x+y+2) + e^{x+y} = e^{x+y}(x+y+3)$

(3) $f(x,y)$ の偏微分の $(-1, -1)$ での値：

$\frac{\partial f}{\partial x}(-1, -1) = e^{-2}(-1-1+2) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(-1, -1) = e^{-2}(-1-1+2) = 0$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(-1, -1) = e^{-2}(-1-1+3) = e^{-2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(-1, -1) = e^{-2}(-1-1+3) = e^{-2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(-1, -1) = e^{-2}(-1-1+3) = e^{-2}$

(4) $g(x,y)$ の $(-1, -1)$ での値：

$g(-1, -1) = a_0 - a_1 - a_2 + a_{11} + a_{12} + a_{22}$

(5) $g(x,y)$ の偏微分：

$\frac{\partial g}{\partial x} = a_1 + 2a_{11}x + a_{12}y$

$\frac{\partial g}{\partial y} = a_2 + a_{12}x + 2a_{22}y$

$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 2a_{11}$

$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 2a_{22}$

$\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = a_{12}$

(6) $g(x,y)$ の偏微分の $(-1, -1)$ での値：

$\frac{\partial g}{\partial x}(-1, -1) = a_1 - 2a_{11} - a_{12}$

$\frac{\partial g}{\partial y}(-1, -1) = a_2 - a_{12} - 2a_{22}$

$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(-1, -1) = 2a_{11}$

$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}(-1, -1) = 2a_{22}$

$\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(-1, -1) = a_{12}$

(7) 連立方程式：

$a_0 - a_1 - a_2 + a_{11} + a_{12} + a_{22} = -e^{-2}$

$a_1 - 2a_{11} - a_{12} = 0$

$a_2 - a_{12} - 2a_{22} = 0$

$2a_{11} = e^{-2}$

$2a_{22} = e^{-2}$

$a_{12} = e^{-2}$

(8) 連立方程式を解く：

$a_{11} = e^{-2}/2$

$a_{22} = e^{-2}/2$

$a_{12} = e^{-2}$

$a_1 = 2a_{11} + a_{12} = e^{-2} + e^{-2} = 2e^{-2}$

$a_2 = a_{12} + 2a_{22} = e^{-2} + e^{-2} = 2e^{-2}$

$a_0 = a_1 + a_2 - a_{11} - a_{12} - a_{22} - e^{-2} = 2e^{-2} + 2e^{-2} - \frac{1}{2}e^{-2} - e^{-2} - \frac{1}{2}e^{-2} - e^{-2} = e^{-2}$

3. 最終的な答え

$a_0 = e^{-2}$, $a_1 = 2e^{-2}$, $a_2 = 2e^{-2}$, $a_{11} = \frac{1}{2}e^{-2}$, $a_{12} = e^{-2}$, $a_{22} = \frac{1}{2}e^{-2}$