関数 $f(x)$ が $f(x) = 2x^2 + \int_0^1 (x-t)f(t) dt$ を満たしている。$A = \int_0^1 f(t) dt$ と $B = \int_0^1 tf(t) dt$ とおくとき、$\frac{A}{2} + B = \frac{1}{2}$ と $\frac{A}{3} - \frac{3}{2}B = \frac{34}{5}$ が成り立つ。この連立方程式を解き、$A$ と $B$ の値を求め、関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = 2x^2 + \int_0^1 (x-t)f(t) dt$ を満たしている。$A = \int_0^1 f(t) dt$ と $B = \int_0^1 tf(t) dt$ とおくとき、$\frac{A}{2} + B = \frac{1}{2}$ と $\frac{A}{3} - \frac{3}{2}B = \frac{34}{5}$ が成り立つ。この連立方程式を解き、$A$ と $B$ の値を求め、関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式

$\frac{A}{2} + B = \frac{1}{2}$ ... (1)

$\frac{A}{3} - \frac{3}{2}B = \frac{34}{5}$ ... (2)

を解く。

(1)式を3倍すると、$\frac{3A}{2} + 3B = \frac{3}{2}$ ... (3)

(2)式を2倍すると、$\frac{2A}{3} - 3B = \frac{68}{5}$ ... (4)

(3)+(4)より、$\frac{3A}{2} + \frac{2A}{3} = \frac{3}{2} + \frac{68}{5}$

$\frac{9A + 4A}{6} = \frac{15+136}{10}$

$\frac{13A}{6} = \frac{151}{10}$

$A = \frac{151}{10} \cdot \frac{6}{13} = \frac{151 \cdot 3}{5 \cdot 13} = \frac{453}{65}$

(1)式より $B = \frac{1}{2} - \frac{A}{2} = \frac{1}{2} - \frac{453}{130} = \frac{65-453}{130} = \frac{-388}{130} = -\frac{194}{65}$

次に、求めた $A$ と $B$ の値を $f(x)$ の式に代入する。

$f(x) = 2x^2 + \int_0^1 (x-t) f(t) dt = 2x^2 + x \int_0^1 f(t) dt - \int_0^1 tf(t) dt$

$f(x) = 2x^2 + Ax - B$

$f(x) = 2x^2 + \frac{453}{65}x + \frac{194}{65}$

3. 最終的な答え

$(A, B) = (\frac{453}{65}, -\frac{194}{65})$

$f(x) = 2x^2 + \frac{453}{65}x + \frac{194}{65}$