次の3つの不定積分を計算します。 (1) $\int \sin^2 x \cos^3 x \, dx$ (2) $\int \sin^2 x \, dx$ (3) $\int \tan^4 x \, dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を計算します。

(1) $\int \sin^2 x \cos^3 x \, dx$

(2) $\int \sin^2 x \, dx$

(3) $\int \tan^4 x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin^2 x \cos^3 x \, dx$ の計算

$\cos^3 x$ を $\cos^2 x \cdot \cos x$ と分解し、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用います。

$\int \sin^2 x \cos^3 x \, dx = \int \sin^2 x (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx$

ここで、$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x \, dx$ なので、

$\int u^2 (1 - u^2) \, du = \int (u^2 - u^4) \, du = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C$

したがって、

$\int \sin^2 x \cos^3 x \, dx = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$

(2) $\int \sin^2 x \, dx$ の計算

半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用います。

$\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

(3) $\int \tan^4 x \, dx$ の計算

$\tan^4 x = \tan^2 x \cdot \tan^2 x$ と分解し、$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を用います。

$\int \tan^4 x \, dx = \int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) \, dx = \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx - \int \tan^2 x \, dx$

第一項で $u = \tan x$ とおくと、$du = \sec^2 x \, dx$ なので、

$\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{\tan^3 x}{3} + C$

第二項は $\int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx = \tan x - x + C$

したがって、

$\int \tan^4 x \, dx = \frac{\tan^3 x}{3} - (\tan x - x) + C = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sin^2 x \cos^3 x \, dx = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$

(2) $\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

(3) $\int \tan^4 x \, dx = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C$