次の不定積分を計算します。 (1) $\int (1+\sqrt{x})^2 dx$ (2) $\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$ (3) $\int \frac{(\log x)^3}{x} dx$ (4) $\int (x-1)e^x dx$ (5) $\int x\cos x dx$ (6) $\int \frac{1}{x(x+3)} dx$

はい、承知いたしました。問題文にある6つの不定積分を計算します。積分定数は省略します。

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

(1) $\int (1+\sqrt{x})^2 dx$

(2) $\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$

(3) $\int \frac{(\log x)^3}{x} dx$

(4) $\int (x-1)e^x dx$

(5) $\int x\cos x dx$

(6) $\int \frac{1}{x(x+3)} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (1+\sqrt{x})^2 dx$

まず、被積分関数を展開します。

$(1+\sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x$

よって、

$\int (1+\sqrt{x})^2 dx = \int (1 + 2\sqrt{x} + x) dx = \int (1 + 2x^{1/2} + x) dx$

各項を積分します。

$\int 1 dx = x$

$\int 2x^{1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{4}{3} x^{3/2}$

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

したがって、

$\int (1+\sqrt{x})^2 dx = x + \frac{4}{3}x^{3/2} + \frac{x^2}{2}$

(2) $\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$

$u = x^2+1$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2}du$ となります。

$\int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{2u}$

$u = x^2+1$ を代入すると、

$-\frac{1}{2(x^2+1)}$

(3) $\int \frac{(\log x)^3}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

$\int \frac{(\log x)^3}{x} dx = \int u^3 du = \frac{u^4}{4}$

$u = \log x$ を代入すると、

$\frac{(\log x)^4}{4}$

(4) $\int (x-1)e^x dx$

部分積分を行います。$u = x-1$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int (x-1)e^x dx = (x-1)e^x - \int e^x dx = (x-1)e^x - e^x = xe^x - e^x - e^x = xe^x - 2e^x = (x-2)e^x$

(5) $\int x\cos x dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$ となります。

$\int x\cos x dx = x\sin x - \int \sin x dx = x\sin x - (-\cos x) = x\sin x + \cos x$

(6) $\int \frac{1}{x(x+3)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+3}$ とすると、$1 = A(x+3) + Bx$ となります。

$x = 0$ のとき、$1 = 3A$ より $A = \frac{1}{3}$

$x = -3$ のとき、$1 = -3B$ より $B = -\frac{1}{3}$

よって、$\frac{1}{x(x+3)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x+3}$

$\int \frac{1}{x(x+3)} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+3} dx = \frac{1}{3} \log |x| - \frac{1}{3} \log |x+3| = \frac{1}{3} \log \left| \frac{x}{x+3} \right|$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{4}{3}x^{3/2} + \frac{x^2}{2}$

(2) $-\frac{1}{2(x^2+1)}$

(3) $\frac{(\log x)^4}{4}$

(4) $(x-2)e^x$

(5) $x\sin x + \cos x$

(6) $\frac{1}{3} \log \left| \frac{x}{x+3} \right|$