$J_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ と定義するとき、漸化式 $J_n = \frac{n-1}{n} J_{n-2}$ (ただし $n \geq 2$) が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$J_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ と定義するとき、漸化式 $J_n = \frac{n-1}{n} J_{n-2}$ (ただし $n \geq 2$) が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて $J_n$ を変形する。

$J_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x \cdot \sin x \, dx$

ここで、$u = \sin^{n-1} x$、$dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = (n-1) \sin^{n-2} x \cos x \, dx$、$v = -\cos x$ となる。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$J_n = \left[-\cos x \sin^{n-1} x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x (n-1) \sin^{n-2} x \cos x \, dx$

$= \left[-\cos x \sin^{n-1} x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \sin^{n-2} x \, dx$

区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ において、$-\cos x \sin^{n-1} x$ の値は0である。なぜなら、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ であり、$x = 0$ のとき $\sin(0) = 0$ であるから。

したがって、

$J_n = (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \sin^{n-2} x \, dx$

ここで、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いると、

$J_n = (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2 x) \sin^{n-2} x \, dx$

$= (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \, dx - (n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$

$= (n-1) J_{n-2} - (n-1) J_n$

$J_n = (n-1) J_{n-2} - (n-1) J_n$ を $J_n$ について解くと、

$J_n + (n-1) J_n = (n-1) J_{n-2}$

$n J_n = (n-1) J_{n-2}$

$J_n = \frac{n-1}{n} J_{n-2}$

3. 最終的な答え

$J_n = \frac{n-1}{n} J_{n-2}$