領域 $E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x, 0 \le y, 0 \le z, x+y+z \le 1 \}$ において、三重積分 $I = \iiint_E e^{x+y+z} \, dx \, dy \, dz$ の値を求める。

1. 問題の内容

領域 $E = \{ (x, y, z) \mid 0 \le x, 0 \le y, 0 \le z, x+y+z \le 1 \}$ において、三重積分 $I = \iiint_E e^{x+y+z} \, dx \, dy \, dz$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三重積分の積分範囲を決定する。

$0 \le x \le 1$

$0 \le y \le 1-x$

$0 \le z \le 1-x-y$

したがって、三重積分は以下のように書ける。

$I = \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} e^{x+y+z} \, dz \, dy \, dx$

まず、$z$ に関する積分を行う。

$\int_0^{1-x-y} e^{x+y+z} \, dz = e^{x+y} \int_0^{1-x-y} e^z \, dz = e^{x+y} [e^z]_0^{1-x-y} = e^{x+y} (e^{1-x-y} - 1) = e - e^{x+y}$

次に、$y$ に関する積分を行う。

$\int_0^{1-x} (e - e^{x+y}) \, dy = \int_0^{1-x} e \, dy - \int_0^{1-x} e^{x+y} \, dy = e [y]_0^{1-x} - e^x \int_0^{1-x} e^y \, dy = e(1-x) - e^x [e^y]_0^{1-x} = e(1-x) - e^x (e^{1-x} - 1) = e - ex - e + e^x = e^x - ex$

最後に、$x$ に関する積分を行う。

$\int_0^1 (e^x - ex) \, dx = \int_0^1 e^x \, dx - e \int_0^1 x \, dx = [e^x]_0^1 - e \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = (e - 1) - e \left( \frac{1}{2} \right) = e - 1 - \frac{e}{2} = \frac{e}{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\frac{e}{2} - 1$