楕円体 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \le 1$ (ただし、$a, b, c > 0$) の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

楕円体 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \le 1$ (ただし、$a, b, c > 0$) の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、変数変換を行います。

$x = au$, $y = bv$, $z = cw$ とおくと、ヤコビアンは

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\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} = \begin{vmatrix}

\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\

\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\

\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w}

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

a & 0 & 0 \\

0 & b & 0 \\

0 & 0 & c

\end{vmatrix} = abc

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となります。

このとき、楕円体の不等式は

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\frac{(au)^2}{a^2} + \frac{(bv)^2}{b^2} + \frac{(cw)^2}{c^2} \le 1

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u^2 + v^2 + w^2 \le 1

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となり、これは半径1の球になります。

球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ であり、$r=1$ なので $\frac{4}{3}\pi$ となります。

したがって、楕円体の体積 $V$ は、

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V = \iiint_{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \le 1} dx\, dy\, dz = \iiint_{u^2 + v^2 + w^2 \le 1} \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\right| du\, dv\, dw

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= abc \iiint_{u^2 + v^2 + w^2 \le 1} du\, dv\, dw = abc \cdot \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi abc

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3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}\pi abc$