領域 $E: x, y, z \geq 0, x^2 + y^2 + z^2 \leq 4$ 上での三重積分 $I = \iiint_E z\,dx\,dy\,dz$ の値を求めます。

1. 問題の内容

領域 $E: x, y, z \geq 0, x^2 + y^2 + z^2 \leq 4$ 上での三重積分 $I = \iiint_E z\,dx\,dy\,dz$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

三重積分を計算するために、球座標変換を行います。

球座標変換は次の通りです。

$x = \rho \sin \phi \cos \theta$

$y = \rho \sin \phi \sin \theta$

$z = \rho \cos \phi$

ここで、$\rho$ は動径、$\phi$ は $z$ 軸からの角度、$\theta$ は $x$ 軸からの角度です。

ヤコビアンは $\rho^2 \sin \phi$ です。

領域 $E$ は $x, y, z \geq 0$ と $x^2 + y^2 + z^2 \leq 4$ を満たす領域なので、球座標では

$0 \leq \rho \leq 2$

$0 \leq \phi \leq \pi/2$

$0 \leq \theta \leq \pi/2$

となります。

したがって、積分は次のようになります。

$I = \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^2 (\rho \cos \phi) \rho^2 \sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta$

$I = \int_0^{\pi/2} d\theta \int_0^{\pi/2} \sin \phi \cos \phi \,d\phi \int_0^2 \rho^3 \,d\rho$

それぞれの積分を計算します。

$\int_0^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}$

$\int_0^{\pi/2} \sin \phi \cos \phi \,d\phi = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin(2\phi) \,d\phi = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos(2\phi)\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1)\right] = \frac{1}{2}$

$\int_0^2 \rho^3 \,d\rho = \left[\frac{1}{4}\rho^4\right]_0^2 = \frac{1}{4}(16) = 4$

したがって、

$I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$