関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求め、極値をとる $x$ の値を求めます。 (2) $k$ を定数とするとき、$x$ の3次方程式 $f(x) = k$ が異なる3つの正の実数解をもつような、$k$ のとり得る値の範囲を求めます。ただし、解法の過程は記述せず、答えのみを書きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求め、極値をとる $x$ の値を求めます。

(2) $k$ を定数とするとき、$x$ の3次方程式 $f(x) = k$ が異なる3つの正の実数解をもつような、$k$ のとり得る値の範囲を求めます。ただし、解法の過程は記述せず、答えのみを書きます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の増減を調べるために、まず微分を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 18x + 15 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x-1)(x-5) = 0$

$x = 1, 5$

$x=1$ と $x=5$ が極値を取る候補となります。

$f'(x)$ の符号を調べるために、$x < 1$, $1 < x < 5$, $x > 5$ での $f'(x)$ の符号を調べます。

$x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$

$1 < x < 5$ のとき、$f'(x) < 0$

$x > 5$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = 1$ で極大値、$x = 5$ で極小値をとります。

$f(1) = 1 - 9 + 15 + 7 = 14$

$f(5) = 125 - 225 + 75 + 7 = -18$

よって、極大値は14 ($x=1$)、極小値は-18 ($x=5$)です。

(2) $f(x) = k$ が異なる3つの正の実数解を持つためには、$f(x)$ のグラフと $y = k$ の直線が3つの正の $x$ 座標で交わる必要があります。$f(0) = 7$ であるため、極小値 $-18$ は $y=0$ より下にあり、極大値 $14$ は $y=0$ より上にあります。したがって、3つの異なる実数解を持つ条件は $-18 < k < 14$ です。さらに、3つの正の実数解を持つ条件は、極小値が負であり、極大値が正であり、$f(0) = 7$ より、$7 < k < 14$ である必要があります。

3. 最終的な答え

(1) 極大値: 14 ($x=1$), 極小値: -18 ($x=5$)

(2) $7 < k < 14$