放物線 $C: y = -x^2 + 3$ について、以下の問題を解きます。 (1) 点 $(1,6)$ から $C$ に引いた接線の方程式を求めます。 (2) (1) で求めた2本の接線と $C$ で囲まれる部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 3$ について、以下の問題を解きます。

(1) 点 $(1,6)$ から $C$ に引いた接線の方程式を求めます。

(2) (1) で求めた2本の接線と $C$ で囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $C: y = -x^2 + 3$ 上の点 $(t, -t^2 + 3)$ における接線を考えます。

$y' = -2x$ なので、接線の傾きは $-2t$ です。

接線の方程式は、

$y - (-t^2 + 3) = -2t(x - t)$

$y = -2tx + 2t^2 - t^2 + 3$

$y = -2tx + t^2 + 3$

この接線が点 $(1,6)$ を通るので、

$6 = -2t(1) + t^2 + 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3, -1$

$t=3$ のとき、接線の方程式は

$y = -2(3)x + 3^2 + 3 = -6x + 12$

$t=-1$ のとき、接線の方程式は

$y = -2(-1)x + (-1)^2 + 3 = 2x + 4$

したがって、接線の方程式は $y = 2x + 4$ と $y = -6x + 12$ です。

(2)

2本の接線 $y = 2x + 4$ と $y = -6x + 12$ の交点のx座標は、

$2x + 4 = -6x + 12$

$8x = 8$

$x = 1$

交点の座標は $(1, 6)$

求める面積は、

$\int_{-1}^{1} (-x^2 + 3 - (2x + 4)) dx + \int_{1}^{3} (-x^2 + 3 - (-6x + 12)) dx$

$= \int_{-1}^{1} (-x^2 - 2x - 1) dx + \int_{1}^{3} (-x^2 + 6x - 9) dx$

$= \int_{-1}^{1} -(x+1)^2 dx + \int_{1}^{3} -(x-3)^2 dx$

$= - \left[ \frac{1}{3} (x+1)^3 \right]_{-1}^{1} - \left[ \frac{1}{3} (x-3)^3 \right]_{1}^{3}$

$= - \left( \frac{8}{3} - 0 \right) - \left( 0 - \frac{-8}{3} \right)$

$= - \frac{8}{3} - \frac{8}{3} = - \frac{16}{3}$

面積は正なので、$\frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y=2x+4$ と $y=-6x+12$

(2) $\frac{16}{3}$