与えられた関数 $y = (\log_e x)^x$ の微分 $y'$ を求める問題です。ここで、$\log_e x$ は自然対数を表します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (\log_e x)^x$ の微分 $y'$ を求める問題です。ここで、$\log_e x$ は自然対数を表します。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\log_e y = \log_e ((\log_e x)^x) = x \log_e (\log_e x)$.

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分により、$\frac{y'}{y}$ となります。右辺は積の微分と合成関数の微分を用いると、次のようになります。

$\frac{d}{dx} (x \log_e (\log_e x)) = 1 \cdot \log_e (\log_e x) + x \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{1}{x} = \log_e (\log_e x) + \frac{1}{\log_e x}$.

したがって、

$\frac{y'}{y} = \log_e (\log_e x) + \frac{1}{\log_e x}$

となります。

最後に、$y'$ を求めるために、両辺に $y = (\log_e x)^x$ を掛けます。

$y' = (\log_e x)^x \left( \log_e (\log_e x) + \frac{1}{\log_e x} \right)$.

画像の最後の行の$\frac{1}{\log_{e} x}$ は、$\frac{1}{\log_{e} x}$の間違いだと思われます。

3. 最終的な答え

$y' = (\log_e x)^x \left( \log_e (\log_e x) + \frac{1}{\log_e x} \right)$