問題2.2.1では、逆三角関数の値を求める問題です。具体的には、 (1) $cos^{-1}(-\frac{1}{2})$ (2) $tan^{-1}(tan(\frac{3}{4}\pi))$ (3) $tan(sin^{-1}(\frac{1}{3}))$ の値を求めます。 問題2.2.2では、逆三角関数に関する等式を示す問題です。具体的には、 (1) $sin(sin^{-1}x) = x$ (2) $cos(tan^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ の等式を示します。

1. 問題の内容

問題2.2.1では、逆三角関数の値を求める問題です。具体的には、

(1) $cos^{-1}(-\frac{1}{2})$

(2) $tan^{-1}(tan(\frac{3}{4}\pi))$

(3) $tan(sin^{-1}(\frac{1}{3}))$

の値を求めます。

問題2.2.2では、逆三角関数に関する等式を示す問題です。具体的には、

(1) $sin(sin^{-1}x) = x$

(2) $cos(tan^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

の等式を示します。

2. 解き方の手順

問題2.2.1

(1) $cos^{-1}(-\frac{1}{2})$の値は、$cos(\theta) = -\frac{1}{2}$となる$\theta$を求めます。$cos(\theta)$の値域は$[0, \pi]$なので、$\theta = \frac{2}{3}\pi$となります。

(2) $tan^{-1}(tan(\frac{3}{4}\pi))$の値は、まず$tan(\frac{3}{4}\pi)$を計算します。$tan(\frac{3}{4}\pi) = -1$なので、$tan^{-1}(-1)$を求めることになります。$tan^{-1}(x)$の値域は$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$なので、$tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$となります。

(3) $tan(sin^{-1}(\frac{1}{3}))$の値を求めます。$\theta = sin^{-1}(\frac{1}{3})$とすると、$sin(\theta) = \frac{1}{3}$です。このとき、$cos(\theta) = \sqrt{1 - sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$となります。よって、$tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$となります。

問題2.2.2

(1) $sin(sin^{-1}x) = x$

$sin^{-1}x$ の定義域は $[-1, 1]$ なので、$x \in [-1, 1]$ の範囲で $sin(sin^{-1}x) = x$ となります。

(2) $cos(tan^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\theta = tan^{-1}x$ とすると、$tan\theta = x$ です。

$cos^2\theta = \frac{1}{1 + tan^2\theta} = \frac{1}{1 + x^2}$ となります。

$tan^{-1}x$ の値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ なので、$cos\theta > 0$ です。

したがって、$cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ となります。

よって、$cos(tan^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

問題2.2.1

(1) $\frac{2}{3}\pi$

(2) $-\frac{\pi}{4}$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{4}$

問題2.2.2

(1) $sin(sin^{-1}x) = x$ は示された。

(2) $cos(tan^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ は示された。