関数 $y = (x+1)\log_e(x(x+1))$ の導関数 $y' = \frac{dy}{dx}$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = (x+1)\log_e(x(x+1))$ の導関数 $y' = \frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = (x+1)\log_e(x(x+1))$を書き換えます。

$y = (x+1)(\log_e x + \log_e(x+1))$

次に、積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いて微分します。ここで、$u = x+1$、$v = \log_e x + \log_e(x+1)$ とします。

$u' = \frac{d}{dx}(x+1) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(\log_e x + \log_e(x+1)) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot (\log_e x + \log_e(x+1)) + (x+1) \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1})$

$y' = \log_e x + \log_e(x+1) + \frac{x+1}{x} + 1$

$y' = \log_e x + \log_e(x+1) + 1 + \frac{1}{x} + 1$

$y' = \log_e x + \log_e(x+1) + 2 + \frac{1}{x}$

$y' = \log_e(x(x+1)) + 2 + \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \log_e(x(x+1)) + 2 + \frac{1}{x}$

あるいは

$y' = \log_e(x(x+1)) + 2 + \frac{1}{x}$