媒介変数 $t$ を用いて $x = t^2 e^{2t}$ および $y = (t^2 + t + 1)e^t$ と表されるとき、$\frac{dy}{dx}$ を計算する問題です。画像の計算過程においていくつかの誤りがあり、正しい $\frac{dy}{dx}$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = t^2 e^{2t}$ および $y = (t^2 + t + 1)e^t$ と表されるとき、$\frac{dy}{dx}$ を計算する問題です。画像の計算過程においていくつかの誤りがあり、正しい $\frac{dy}{dx}$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{dt}$ および $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$x = t^2 e^{2t}$ より、積の微分法を用いて

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 e^{2t}) = 2t e^{2t} + t^2 (2e^{2t}) = 2t e^{2t} + 2t^2 e^{2t} = 2t(1+t)e^{2t}$

次に、$y = (t^2 + t + 1)e^t$ より、積の微分法を用いて

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}((t^2 + t + 1)e^t) = (2t + 1)e^t + (t^2 + t + 1)e^t = (t^2 + 3t + 2)e^t = (t+1)(t+2)e^t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(t+1)(t+2)e^t}{2t(1+t)e^{2t}} = \frac{(t+2)e^t}{2te^{2t}} = \frac{t+2}{2te^t}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{t+2}{2te^t}$